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若关于x不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立,则a的取值范围是 ....

若关于x不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立,则a的取值范围是    
把不等式的左边设为f(x),然后分a-2大于0,a-2等于0,a-2小于0三种情况考虑,当a大于2时显然不能恒成立; 当a等于2时,显然成立;当a小于2时,根据二次函数图象的开口向下,与x轴没有交点即△<0即可列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的范围,综上,得到所有a的范围即可. 【解析】 设f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4,当a-2>0即a>2时,函数为开口向上的抛物线,显然不合题意; 当a-2=0即a=2时,不等式变为-4<0,恒成立; 当a-2<0即a<2时,函数为开口向下的抛物线,要使(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立, 即要△<0,即4(a-2)2+16(a-2)<0,化简得:4(a+2)(a-2)<0,解得:-2<a<2. 综上,使不等式恒成立的a的取值范围是(-2,2]. 故答案为:(-2,2]
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