Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b²=ac，向量m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）满足．
（1）求sinAsinC的值；
（2）求证：三角形ABC为等边三角形．

Answer

（1）由m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）满足，我们不难得到cos（A-C）+cos（A+C）=，和差化积后，即可得到sinAsinC的值；
（2）由（1）的结论及b2=ac，我们易得B角的大小，再由余弦定理，我们可以得到a，c两边的关系，进行判断三角形ABC为等边三角形．
（1）【解析】
由得，
，
又B=π-（A+C），得cos（A-C）-cos（A+C）=，
即cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=，
所以sinAsinC=．
（2）证明：由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，
故．
于是，
所以或．
因为cosB=-cos（A-C）＞0，
所以，故．
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
即b2=a2+c2-ac，
又b2=ac，
所以ac=a2+c2-ac，
得a=c．
因为，
所以三角形ABC为等边三角形．