Question

已知过原点O作函数f（x）=e^x（x²-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求实数a的取值范围．
（Ⅱ）求证：x₁＜-3．

Answer

（Ⅰ）设切点为（x，y），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x处的导数，从而求出切线的斜率，即可表示出切线方程，然后减（0，0）代入得x3+ax-a=0，根据切线恰有三条，转化成方程x3+ax-a=0有三个不同的解，最后利用导数研究即可；
（Ⅱ）根据g（x）=x3+ax-a，，根据函数连续性知，根据a的范围可知g（-3）=-27-4a＞0，即可求出x1的范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=ex（x2+x+a-1），
设切点为（x，y），则切线方程为：y-ex（x2-x+a）=ex（x2+x+a-1）（x-x），
代入（0，0）得x3+ax-a=0，
由题意知满足条件的切线恰有三条，
则方程x3+ax-a=0有三个不同的解．（2分）
令g（x）=x3+ax-a，g′（x）=3x2+a．
当a≥0时，g′（x）≥0，g（x）是（-∞，+∞）上增函数，则方程x3+ax-a=0有唯一解．（3分）
当a＜0时，由g′（x）=0得x=±，g（x）在和上是增函数，
在上是减函数
要使方程x3+ax-a=0有三个不同的根，
只需（5分）
解得a＜-．（6分）
（Ⅱ）∵g（x）=x3+ax-a，，
由函数连续性知-∞＜x1＜-，（8分）
∵a＜-，∴g（-3）=-27-4a＞0，（10分）
且-3＜-，∴x1＜-3．（12分）