Question

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点．试根据这一定义，证明下列命题：若直线y=kx+b（k≠0）经过点M（，1），则此直线不能经过两个有理点．

Answer

假设此直线上有两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数，⇒y1=kx1+b，y2=kx2+b，两式相减，得y1-y2=k（x1-x2）．由斜率k存在⇒⇒k为有理数．⇒也是有理数．再由点M（，1）在此直线上⇒（k≠0）．⇒矛盾，得到结论．
证明：假设此直线上有两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数，则有y1=kx1+b，y2=kx2+b，两式相减，得y1-y2=k（x1-x2）．
∵斜率k存在，∴x1≠x2，得．
而有理数经过四则运算后还是有理数，
故k为有理数．
又由y1=kx1+b知，b也是有理数．
又∵点M（，1）在此直线上，∴，于是有（k≠0）．此式左端为无理数，右端为有理数，显然矛盾，故此直线不能经过两个有理点．