Question

在数列a_n中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若m为正整数，当

Answer

（I）把题设中数列递推式变形得，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列．
（II）根据（I）可求得数列的通项公式，进而求得an，令f（n）=，则可表示出f（n+1），进而求得当m≥n≥2时的表达式，进而求得解决大于1，判断出f（n）为递减数列，进而可推断出f（n）的最大值为
f（2），进而问题转化为证明f（2）≤．进而根据推断出进而可知原式得证．
【解析】
（I）由an+1=2an+2n+1变形得：
故数列是以为首项，1为公差的等差数列
（II）由（I）得an=n•2n
令
当=
又∴
则为递减数列．
当m=n时，f（n）＞f（n+1）
∴当m≥n≥2时，f（n）递减数列．
∴
要证：时，
=
故原不等式成立．