Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列a_n的前n项和为S_n，证明：对任意的n∈N^*，不等式S_n+1≤4S_n恒成立．

Answer

（1）直接利用条件求bn+1和bn的关系即可找到数列{bn}的规律，进而求数列{bn}的通项公式；
（2）先求出数列{an}的通项公式；，再对其分组求和求出前n项和为Sn，再对Sn+1与4Sn恒作差比较即可判断．
【解析】
（1）∵bn+1=an+1-（n+1）=4an-3n+1-（n+1）=4（an-n）=4bn（3分）
且b1=a1-1=1（14分）∴bn为以1为首项，以4为公比的等比数列∴bn=b1qn-1=4n-1（5分）
（2）∵an=bn+n=4n-1+n，（6分）∴（8分）
∴=（11分）
∴不等式Sn+1≤4Sn对任意的n∈N*皆成立（12分）