Question

已知点P_n（a_n，b_n）满足，且P₁点的坐标是（1，-1）．
（Ⅰ）求过P₁，P₂两点的直线l的方程，并证明点 P_n在直线l上；
（Ⅱ）求使不等式对所有n∈N^*成立的最大实数λ．

Answer

（Ⅰ）．．过P1，P2的直线方程为2x+y-1=0，然后用数学归纳法证明点Pn在直线l：2x+y-1=0上．
（Ⅱ）由an+1=an•bn+1=an（1-2an+1），知．所以是以为首项，2为公差的等差数列．由此能导出λ的最大值是．
【解析】
（Ⅰ）．∴．
过P1，P2的直线方程为，即2x+y-1=0．（2分）
下面用数学归纳法证明点Pn在直线l：2x+y-1=0上，即2an+bn=1，n∈N*成立．
1）当n=12时，2a1+b1=13成立；
4）假设n=k（k∈N*）5时，2ak+bk=16成立，则．
即n=k+1时，2ak+1+bk+1=1也成立．
根据1），2）对所有n∈N*点Pn在直线l：2x+y-1=0上．（6分）

（Ⅱ）an+1=an•bn+1=an（1-2an+1），∴an+1=an-2an+1an∴．
∴是以为首项，2为公差的等差数列．
∴．∴．（10分）
∴b2b3…bnbn+1=．
∴不等式•
⇔≥λ
设f（n）=，
∵
∴f（n）的最小值是．
∴．即λ的最大值是．（14分）