Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由a1=1，an+1=2sn，分别令n=1，2，3求出a2，a3，a4的值；
（2）由an+1=2sn及求得an，
（3）把（2）求得an代入中bn，应用错位相减法求和．
【解析】
（1）∵a1=1，
∴a2=2a1=2，a3=2S2=6，a4=2S3=18，
（2）∵an+1=2S1，∴aN=2Sn-1（n≥2），
∴an+1-an=2an，（n≥2）
又，∴数列{an}自第2项起是公比为3的等比数列，
∴，

（3）∵bn=nan，∴，
∴Tn=1+2×2×3+2×3×31+2×4×32++2×n×3n-2，…①
3Tn=3+2×2×31+2×3×32+2×4×33++2×n×3n-1…②（12分）
①-②得-2Tn=-2+2×2×3+2×31+2×32++2×3n-2-2×n×3n-1
=2+2（3+32+33++3n-2）-2n×3n-1=（1-2n）×3n-1-1
∴．（14分）