Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表达式，并证明你的猜想．
（2）设A_n为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式A_n对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题设知=n+，Sn=n2+an，令n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜想：an=2n（n∈N*），再用用数字归纳法证明．
（2）由=1-，知An=（1-）（1-）（1-），An=（1-）（1-）（1-），又f（a）-=a+-=a-，故An＜f（a）-对一切n∈N*都成立，由此能够推导出使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，并且能求出a的取值范围．
【解析】
（1）∵点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上，故=n+．
∴Sn=n2+an，令n=1得a1=1+a1，∴a1=2
令n=2得a1+a2=4+a2，∴a2=4
令n=3得a1+a2+a3=9+a3，∴a3=6
由此猜想：an=2n（n∈N*），（2分）
下面用数字归纳法证明：
①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．（3分）
②假设n=k时猜想成立，即ak=2k成立，
那么，当n=k+1时，由条件知，Sk=k2+ak，Sk+1=（k+1）2+ak+1，
两式相减，得ak+1=2k+1+ak+1-ak，
∴ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2（k+1）
即当n=k+1时，猜想成立．
根据①、②知，对一切n∈N*，an=2n成立．（6分）
（2）∵=1-，故An=（1-）（1-）（1-），
∴An=（1-）（1-）（1-）
又f（a）-=a+-=a-
故An＜f（a）-对一切n∈N*都成立，就是
（1-）（1-）（1-）•＜a-对一切n∈N*都成立．（8分）
设g（n）=（1-）（1-）（1-），则只需g（n）max＜a-即可．（9分）
由于=（1-）•=•
=＜1
∴g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，
于是g（n）max=g（1）=，（12分）
由＜a-得＞0解得-＜a＜0或a＞．
综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，且a的取值范围为（-，0）∪（，+∞）．（14分）