Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，数列{b_n}满足b₁=1，且b_n=2b_n-1+1，n≥2．
（1）求a_n，b_n的表达式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由题设知，bn+1=2（bn-1+1），由此可知bn=2n-1．
（2）cn=an•bn=（2n-1）•（2n-1）=（2n-1）•2n-（2n-1），令dn=（2n-1）•2n，记Rn=d1+d2+…+dn=1•21+3•22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）．2n，再由错位相减求和法求出数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）（2分）
当n=1时，2n-1=1，所以an=2n-1（n≥1）（3分）
∵bn=2bn-1+1∴bn+1=2（bn-1+1）n≥2（4分）
∴bn+1成等比数列，且首项b1+1=2，公比q=2（5分）
∴bn+1=2•2n-1，∴bn=2n-1（6分）

（2）cn=an•bn=（2n-1）•（2n-1）=（2n-1）•2n-（2n-1）（7分）
令dn=（2n-1）•2n，
记Rn=d1+d2+…+dn
=1•21+3•22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）．2n
则2Rn=1•22+3•23+5•24+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1
相减，故Rn=-2-2•22-2•23-…-2•2n+（2n-1）•2n+1
=（2n-3）•2n+1+6（10分）
故Tn=Rn-[1+3+5+…+（2n-1）]=（2n-3）•2n+1+6-n2（12分）