Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2ⁿ，
（Ⅰ）求a₁，a₄
（Ⅱ）证明：{a_n+1-2aⁿ}是等比数列；
（Ⅲ）求{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）令n=1得到s1=a1=2并推出an，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；
（Ⅱ）由已知得an+1-2an=（Sn+2n+1）-（Sn+2n）=2n+1-2n=2n即为等比数列；
（Ⅲ）an=（an-2an-1）+2（an-1-2an-2）++2n-2（a2-2a1）+2n-1a1=（n+1）•2n-1即可．
【解析】
（Ⅰ）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2
由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1
得an+1=sn+2n+1①
所以a2=S1+22=2+22=6，S2=8a3=S2+23=8+23=16，S2=24a4=S3+24=40
（Ⅱ）由题设和①式知an+1-2an=（Sn+2n+1）-（Sn+2n）=2n+1-2n=2n
所以{an+1-2an}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）an=（an-2an-1）+2（an-1-2an-2）++2n-2（a2-2a1）+2n-1a1=（n+1）•2n-1