Question

函数f（x）=x³-3ax²+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（1）求a、b的值；
（2）方程f（x）=c有三个不同的实数解，求c的取值范围．

Answer

（1）利用函数在切点处的导数值是曲线的斜率及切点在曲线上，令f′（1）=-12，f（1）=-11，列出方程求出a，b的值．
（2）将a，b的代入f（x），通过导函数求f（x）的单调性及极值，结合其图象，求出c的范围．
【解析】
（1）f（x）=x3-3ax2+3bx，f'（x）=3x2-6ax+3b，f'（1）=3-6a+3b=-12，f（1）=1-3a+3b=-11，
∴a=1，b=-3．
（2）f（x）=x3-3x2-9x，f'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），
当x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，3），f'（x）＜0；
x∈（3，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取极大值5，在x=3时取极小值-27．
f（x）的大致图象如下
根据三次函数f（x）的图象得f（x）=c有三个不同的实数解时，c的取值范围是（-27，5）．