Question

已知数列{x_n}的首项x₁=3，通项x_n=2ⁿp+nq（n∈N⁺，p、q为常数）且x₁，x₄，x₅成等差数列．
（1）求p、q的值；
（2）{x_n}前n项和为S_n，计算S₁₀的值．

Answer

（1）把n=1代入通项其值等于3，得到关于p与q的方程，记作①，又令n=4和5分别表示出x4和x5，根据x1，x4，x5成等差数列，利用等差数列的性质得到2x4=x1+x5，列出关于p与q的另一方程，记作②，联立①②即可求出p与q的值，；
（2）把p与q的值代入通项即可确定出通项，罗列出数列{xn}的前10项，依次结合后，分别利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可求出S10的值．
【解析】
（1）由x1=3，则3=2p+q①，
又x1，x4，x5成等差数列，
则（3+32p+5q）=2（16p+4q）②，
联立①②，解得p=1，q=1；
（2）把p=1，q=1代入通项得：xn=2n+n，
则S10=2+22+…+210+1+2+…+10=+=2101．