Question

已知圆O的方程为x²+y²=16．
（1）求过点M（-4，8）的圆O的切线方程；
（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率．

Answer

（1）圆心为O（0，0），半径r=4，设过点M（-4，8）的切方程为y-8=k（x+4），即kx-y+4k+8=0，则，解得k=-，由此能求出过点M（-5，11）的圆C的切线方程．
（2）当直线AB的斜率不存在时，，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，圆心O（0，0）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，由经能求出△OAB的最大面积和此时直线AB的斜率．
【解析】
（1）∵圆O的方程为x2+y2=16，
∴圆心为O（0，0），半径r=4，
设过点M（-4，8）的切方程为y-8=k（x+4），即kx-y+4k+8=0，（1分）
则，解得k=-，（3分）
切线方程为3x+4y-20=0（5分）
当斜率不存在时，x=-4也符合题意．
故求过点M（-5，11）的圆C的切线方程为：3x+4y-20=0或x=-4．（6分）
（2）当直线AB的斜率不存在时，，（7分）
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
圆心O（0，0）到直线AB的距离d=，（9分）
线段AB的长度|AB|=2，
∴．（11分）
当且仅当d2=8时取等号，此时，解得k=．
所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为．（12分）