Question

已知定点A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，2），动点P满足：．
（1）求动点P轨迹M的方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）当k=2时：
①E是x轴上的动点，EK，EQ分别切曲线M于K，Q两点，如果，求线段KQ的垂直平分线方程；
②若E点在△ABC边上运动，EK，EQ分别切曲线M于K，Q两点，求四边形DKEQ的面积的取值范围．

Answer

（1）根据题意，设出P的坐标（x，y）；可得则、、的坐标，代入中，可得（k-1）x2+（k-1）y2+k+1=0；分K=1与k≠1两种情况讨论，可得答案．
（2）①根据题意k=2，代入（1）的方程可得x2+（y-2）2=1，进而|DN|=，结合射影定理计算可得|DE|=，在Rt△DOE中，由|OE|=1，得E的坐标，又由ED⊥KQ且平分KQ，由直线的点斜式方程可得答案；
②由（1）可得线段BC、AC的方程，按E的在△ABC的三边上不同位置，不同分3种情况讨论；求出SDKEQ的范围，综合可得答案．
【解析】
（1）设动点坐标为P（x，y），
则=（x-1，y），=（x+1，y），=（x，1-y）；
因为，所以x2+y2-1=K[x2+（y-1）2]；
整理得：（k-1）x2+（k-1）y2+k+1=0；
若k=1，则方程为y=1，表示过点（0，1）且平行与x轴的直线，
若k≠1，则方程化为x2+（y-）2=（）2，表示以（0，）为圆心，||为半径的圆．
（2）①因为k=2，所以方程为x2+（y-2）2=1，圆心为D，如图，
由|KQ|=可得|DN|=，
由射影定理可得|DQ|2=|DN||DE，得|DE|=，
在Rt△DOE中，|OE|=1，得E（1，0）（-1，0），
ED⊥KQ且平分KQ，所以DE的方程为2x+y-2=0或2x-y+1=0（0＜y＜1）；
②LBC：x+y-1=0（0＜y＜1），LAC：x-y+1=0（0＜y＜1），
当E（a，b）在线段AC上运动时，
SDKEQ=2S△DKE=DK•KE==（0＜b＜1），
所以0＜SDKEQ＜2，
同理，当E（a，b）在线段BC上运动时，0＜SDKEQ＜2
当E（a，b）在线段BC上运动时，E（a，0）（-1≤a≤1），
SDKEQ=2S△DKE=DK•KE=（-1≤a≤1），
所以≤SDKEQ≤2，
综上可得，0≤SDKEQ≤2．