Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=2，CD=4，
（1）求证：MN∥面PAD；
（2）求证：MN⊥面PCD；
（3）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer

（1）取PD中点设为T连接NT，AT，四边形MNAT是平行四边形，从而得到MN∥AT，由线面平行判定定理得MN∥平面PAD；
（2）由AT⊥平面PDC，MN∥AT，得到MN⊥平面PCD；
（3）分别求得各侧面的面积再加上底面积．
【解析】
（1）证明：取PD中点设为T连接NT，AT，因为N为PC中点，所以MA∥CD，且TN=CD又因为M为AB中点，所以AM∥CD，且AM=CD，所以MN∥AT，AT⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD
（2）因为PA=AD，T为PD中点，所以AT⊥平面PDC，因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为CD⊥AD，且AD∩AP=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AT，又因为CD∩PD=D，所以AT⊥平面PCD，所以MN⊥平面PCD
（3）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PD⊥DC，PB⊥CB，又∵底面ABCD为矩形
S=SPAB+SPAD+SPDC+SPBC+SABCD
=（PA．AB+PA*AD+PD*DC+PB*BC）+AB*BC
=14+