Question

如图，在棱长为ɑ 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB．CD．CC₁的中点．
（1）求直线 A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG．

Answer

（1）欲求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AC为A1C在平面ABCD的射影，故∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角，最后在直角三角形中求解即得；
（2）欲证平面AB1D1∥平面EFG，根据面面平行的判定定理可知，只须证明线面平行即可．在正方体ABCD-A1B1C1D1中连接BD，则DD1∥BB1，DD1=BB1，利用直线间的平行关系可证得：D1B1∥平面GEF及AB1∥平面GEF，从而问题解决．
【解析】
（1）∵A1C∩平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中A1A⊥平面ABCD
∴AC为A1C在平面ABCD的射影
∴∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角正方体的棱长为a∴AC=，A1C=
证明：（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中
连接BD，则DD1∥BB1，DD1=BB1，
∴D1DBB1为平行四边形
∴D1B1∥DB
∵E，F分别为BC，CD的中点
∴EF∥BD∴EF∥D1B1
∵EF⊂平面GEF，D1B1⊄平面GEF
∴D1B1∥平面GEF
同理AB1∥平面GEF
∵D1B1∩AB1=B1
∴平面AB1D1∥平面EFG．