Question

已知f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7（n∈N^*），
（1）设f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列．
（2）设f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成{b_n}，求{b_n}的前n项和．

Answer

（1）要证明数列{an}为等差数列．我们可以根据二次函数顶点的坐标公式，求出其顶点纵坐标的表达式，再根据判断等差数列的方法进行判断；
（2）由于f（x）的图象的顶点到x轴的距离等于顶点纵坐标的绝对值，结合（1）的结论，我们易得{bn}从第二项开始是一个等差数列，根据等差数列前n项和公式，易得结论．
（1）证明：∵f（x）=x2-2（n+1）x+n2+5n-7（n∈N*），
f（x）的图象的顶点的纵坐标为=3n-8
即an=3n-8（n∈N*），
故{an}为一个以-5为首项，以3为公差的等差数列
（2）【解析】
由（1）及f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}，
则bn=|an|=|3n-8|
当n=1或n=2时3n-8＜0，bn=|3n-8|=8-3n b1=5 b2=2
n≥3时3n-8＞0 bn=|3n-8|=3n-8
Sn=b1+b2+b3+…+bn
=5+2+（3×3-8）+（3×4-8）…+（3n-8）
=7+3×（3+4+5+…+n）-8（n-2）
=7+-8（n-2）
=7+
=7+．
∴Sn=7+．