Question

在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量=（2sinB，），=（cos2B，cosB），且，向量共线．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer

（1）根据共线向量的坐标满足的关系得到一个关系式，利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tan2B的值，然后由锐角B的范围求出2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b，cosB的值，利用余弦定理及基本不等式即可求出ac的最大值，根据三角形的面积公式进而得到三角形ABC面积的最大值．
【解析】
（1）由，向量共线得到：2sinBcosB=cos2B，即tan2B=，
由B∈（0，）得到：2B∈（0，π），
所以2B=，即B=；
（2）由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，
即1=a2+c2-ac≥2ac-ac，当且仅当a=c时取等号，
所以ac≤=2+，
则S△ABC=acsinB≤，即S△ABC的最大值为．