Question

已知函数f（x）=x³-3ax，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求证：直线4x+y+m=0不可能是函数f（x）图象的切线．

Answer

（1）对函数f（x）进行求导，导函数大于0时可求原函数的增区间，导函数小于0时可求原函数的减区间．
（2）将a=1代入函数确定解析式，然后对函数f（x）进行求导，可发现导函数不可能等于-4从而得证．
【解析】
（1）∵f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），
当a≤0时，f′（x）=3x2-3a≥0对x∈R恒成立，
∴f（x）的递增区间为（-∞，+∞）．
当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＜-或x＞，
由f′（x）＜0，得-＜x＜．
此时，f（x）的递增区间是（-∞，-）和（，+∞）；
递减区间是（-，）．
（2）证明：∵a=1，∴f′（x）=3x2-3．
直线4x+y+m=0的斜率为-4，假设f′（x）=-4，即3x2+1=0．
此方程无实根，∴直线4x+y+m=0不可能是函数f（x）图象的切线．