Question

如图所示，已知A，B，C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求点C的坐标及椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E上存在两点P，Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量与是否共线，并给出证明．

Answer

（Ⅰ）根据|BC|=2|AC|，且BC经过O可推断出|OC|=|AC|，进而根据求得C点的坐标，将a及C点坐标代入椭圆方程求得b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据∠PCQ的平分线总垂直于x轴，可知PC与CQ所在直线关于直线对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，进而可表示出直线PC的方程和直线CQ的方程分别于椭圆方程联立，根据C点坐标且在椭圆上，可利用韦达定理求得xQ和xp的表达式，进而求得B的坐标，则直线AB的斜率可求得，进而可知kAB=kPQ，推断出向量与向量共线．
【解析】
（Ⅰ）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0），
∴|OC|=|AC|．又，
∴，
∵，将及C点坐标代入椭圆方程得，
∴椭圆E的方程为：．

（Ⅱ）对于椭圆上两点P，Q，
∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于直线对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，
∴直线PC的方程为，
即．①
直线CQ的方程为．②
将①代入，
得，③
∵在椭圆上，
∴是方程③的一个根．
∴，
∴，
同理可得，，
∴．
∵，
∴，
又，
∴，
∴kAB=kPQ，∴向量与向量共线．