Question

已知对于任意实数x，二次函数f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的，求函数g（a）=（a+1）（|a-1|+2）的值域．

Answer

先根据f（x）=x2-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的，判别式小于等于0求得a的范围，进而根据a的范围确定函数g（a）的解析式，根据函数的单调性求得函数的值域．
【解析】
依题意可知△=16a2-4（2a+12）≤0，解得-≤a≤2
当1≤a≤2时，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=（a+1）2，单调增
∴g（a）∈[4，9]
当-≤a＜1时，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=-（a-1）2+4，函数单调增
∴g（a）∈[-，4）
综合得函数g（a）的值域为[-，9]