Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点．
（I）求异面直线AA₁和BD₁所成角的大小；
（II）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（III）求二面角C₁-DE-C的大小．

Answer

（I）∠B1BD1是异面直线AA1和BD1所成的角，解直角三角形，求出此角的大小．
（II）连接CD1，与C1D相交于O，连接EO，由三角形中位线的性质得 EO∥BD1，由线线平行证明线面平行．
（III）根据三垂线定理找出二面角的平面角，并证明之，把此角放在直角三角形C1CH中，利用直角三角形中的边角关系，
求出此角的大小．
（本小题满分14分）
【解析】
（I）【解析】

连接B1D1．
∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，
∴∠B1BD1是异面直线AA1和BD1所成的角．（2分）
即在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE．（14分）
在，∴，
即异面直线AA1和BD1所成角的大小为（4分）

（II）证明：
连接CD1，与C1D相交于O，连接EO．
∵CDD1C1是矩形，
∴O是CD1的中点，
又E是BC的中点，
∴EO∥BD1．（2分）
又BD1⊄平面C1DE，EO⊂平面C1DE，
∴BD1∥平面C1DE．（4分）

（III）【解析】

过点C作CH⊥DE于H，连接C1H．
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，
∴C1H⊥DE，
∠C1HC是二面角C1-DE-C的平面角．（11分）
在△CDE中，CD=2，CE=1，∴
在△C1CH中，CC1=3，∴，（13分）
∴二面角C1-DE-C的大小为（14分）