Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫做闭函数．
（Ⅰ）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅲ）判断函数是否为闭函数？并说明理由．

Answer

（1）根据一次函数的性质知，f（x）=x满足条件．
（2）根据y=-x3的单调性，假设区间为[a，b]满足，求a、b的值．
（3）取一特殊值x1=1，x2=10，代入验证不满足条件即可证明不是闭函数．
【解析】
（Ⅰ）如f（x）=x，[a，b]=[1，2]．
（Ⅱ）由题意，y=-x3在[a，b]上递减，则，
解得．
所以，所求的区间为[-1，1]．
（Ⅲ）取x1=1，x2=10，则，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取，，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数．
所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数．