Question

设点，动圆P经过点F且和直线相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求曲线W的方程；
（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l₁，l₂，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．

Answer

（1）由题意可知，动圆到定点的距离与到定直线的距离相等，其轨迹为抛物线，写出其方程．
（2）设出l1的方程y=kx+，联立l1和抛物线的方程，将AB的长度用k表示出来，同理，l2的方程为y=，将CD的长度也用k表示出来．再由四边形面积公式|AB|•|CD|，算出表达式，再用不等式放缩即得．
【解析】
（Ⅰ）过点P作PN垂直直线于点N．
依题意得|PF|=|PN|，
所以动点P的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线，
即曲线W的方程是x2=6y
（Ⅱ）依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，
设直线l1的方程为，
由l1⊥l2得l2的方程为．
将代入x2=6y，化简得x2-6kx-9=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6k，x1x2=-9．
∴，
同理可得．
∴四边形ACBD的面积，
当且仅当，即k=±1时，Smin=72．
故四边形ACBD面积的最小值是72．