Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求点B到平面CDB₁的距离；
（Ⅲ）求二面角B-B₁C-D的大小．

Answer

以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
（Ⅰ）求出，推出DE∥AC1．从而证明AC1∥平面CDB1；
（Ⅱ）点B到平面CDB1的距离为h．通过，求点B到平面CDB1的距离；
（Ⅲ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥B1C于点G，连接DG，说明∠DGF是二面角B-B1C-D的平面角，求出与公式相关向量，计算，求二面角B-B1C-D的大小．
【解析】
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC1两两垂直
如图，以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），D（1，1，0）．
（Ⅰ）证明：
设BC1与B1C的交点为E，则E（0，1，1）．
∵，∴，∴DE∥AC1…（3分）
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1（4分）
（Ⅱ）设点B到平面CDB1的距离为h．
在三棱锥B1-BCD中，
∵，且B1B⊥平面BCD，
∴（6分）
易求得，
∴．
即点B到平面CDB1的距离是．．（9分）
（Ⅲ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥B1C于点G，连接DG．
易证明DF⊥平面BCC1B1，从而GF是DG在平面BCC1B1内的射影，
根据三垂线定理得B1C⊥GD．
∴∠DGF是二面角B-B1C-D的平面角（12分）
易知，
∵，
∴=．
∴二面角B-B1C-D的大小是．（14分）