Question

过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．
（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
（2）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线l的方程．

Answer

（1）设所求的直线方程，点的坐标代入方程后使用基本不等式，可求面积的最小值，注意检验等号成立条件．
（2）设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，
注意检验等号成立条件．
【解析】
（1）设所求的直线方程为（a＞0，b＞0），由已知．
于是 ≤=，当且仅当，即a=4，b=2时，取最大值，
即取最小值4．
故所求的直线l的方程为，即x+2y-4=0．
（2）设直线l：y-1=k（x-2），分别令y=0，x=0，得．
则|PA|•|PB|=≥4，
当且仅当k2=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，又∵k＜0，
∴k=-1，这时l的方程为x+y-3=0．