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用长度为定值l的铁丝围成一个底面边长是x,体积是V的正四棱柱形状的框架. (Ⅰ)...

用长度为定值l的铁丝围成一个底面边长是x,体积是V的正四棱柱形状的框架.
(Ⅰ)试将V表示成x的函数,并指出x的取值范围;
(Ⅱ)当正四棱柱的底面边长和高之比是多少时,其体积最大?
(Ⅰ)先用为定值l和底面边长x表示出正四棱柱的高,然后根据正四棱柱的体积公式等于底面积乘以高得到V与x的关系式,根据l-8x大于0得到x的范围; (Ⅱ)求出V′,讨论导函数的正负决定函数的增减性得到函数的最大值时x的取值即可. 【解析】 (Ⅰ)由长度为定值l的铁丝围成的底面边长为x,则正四棱柱的高为,根据体积公式得: V=x2•=x2-2x3, 又因为l-8x>0且x>0解得x的取值范围是(0,). (Ⅱ)求出V′=x-6x2=-6x(x-), 在(0,)上,V′>0,函数单调递增;在(,)上,V′<0,函数单调递减. ∴当x=时,V取最大值. 此时,正四棱柱的高为,于是当正四棱柱底面边长和高之比是1时,其体积最大.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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