Question

已知A，B，C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量，，满足，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer

（1）先根据表示出向量，再由A，B，C三点共线可得到关系式，整理即可得到答案．
（2）将函数f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得，然后令，根据导数判断其单调性并求出其单调区间，即可求得函数φ（x）的最小值，再根据在[0，1]上恰有两个不同的实根结合函数的性质求出答案．
【解析】
（1）
∵A，B，C三点共线，
∴∴
（2）方程f（x）=2x+b即
令，
∴
当时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
当时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
∴φ（x）有极小值为=即为最小值．
又φ（0）=ln2，，又-ln2
=∴ln5-＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln2．