Question

已知数列{a_n}满足：（1）a₁=3；（2）a_n+1=2n²-n（3a_n-1）+a_n²+2（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）猜测数列{a_n}的通项，并证明你的结论；
（Ⅲ）试比较a_n与2ⁿ的大小．

Answer

（Ⅰ）把n=1，2，3分别代入an+1=2n2-n（3an-1）+an2+2（n∈N*），得a2=5，a3=7，a4=9．
（Ⅱ）猜测an=2n+1，然后用数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）当n=1时，a1=3＞2n；当n=2n=2时，a2=5＞22；当n=3时，a3=7＜23；当n=4时，a4=9＜24．猜想n≥3（n∈N*）时，an＜2n．然后用数学归纳法进行证明．
【解析】
（Ⅰ）a2=5，a3=7，a4=9；（3分）
（Ⅱ）猜测an=2n+1，（1分）
证明如下：
当n=1时，a1=3=2×1+1，结论成立；（1分）
若n=k时，结论成立，即ak=2k+1，
则n=k+1时，
ak+1=2k2-k（3ak-1）+ak2+2=2k2-k（6k+2）+（2k+1）2+2=2k+3，（2分）
于是n=k+1时，结论成立．
故对所有的正整数n，an=2n+1．（1分）
（Ⅲ）当n=1时，a1=3＞2n；
当n=2n=2时，a2=5＞22；
当n=3时，a3=7＜23；
当n=4时，a4=9＜24；（1分）
猜想n≥3（n∈N*）时，an＜2n．（1分）
证明如下：
当n=3时，a3=7＜33，结论成立；（1分）
若n=k时，结论成立，即ak＜2k，（k≥3），也就是2k+1＜2k，
则n=k+1时，
ak+1=2k+3=（2k+1）+2＜2k+2，
而（2k+2）-2k+1=2-2k＜0⇒2k+2＜2k+1，（2分）
∴ak+1＜2k+1．
于是n=k+1时，结论成立．
从而对任意n≥3（n∈N*），有an＜2n．
综上所述，当n=1，2时，an＞2n；当n≥3时，an＜2n．（1分）