Question

已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.

试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，

则，，故椭圆的标准方程为             5分

（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，

又圆与轴相切，故点的坐标为，

不妨设点位于第一象限，因为，所以，               7分

代入椭圆的方程，可得，因为，解得，               10分

所以圆的圆心为，半径为，其方程为            12分

因为圆心到直线的距离              14分

故圆被直线截得的线段长为             16分

考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理