Question

已知函数。

（Ⅰ）若在是增函数，求b的取值范围；

（Ⅱ）若在时取得极值，且时，恒成立，求c的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于增函数的导数应大于等于零，故先对函数求导并令其大于零，可得的取值范围，注意在求导时需细心；（Ⅱ）由函数在处取得极值可知，在处函数导数为零，可求得的值，要使时，恒成立，需要求出在中的最大值，只有最大值小于，则恒成立，故可求得的范围，这类题目就是要求出在给定区间上的最值.

试题解析：（1），∵在是增函数，

∴恒成立，∴，解得．

∵时，只有时，，∴b的取值范围为．  3分

（Ⅱ）由题意，是方程的一个根，设另一根为，

则   ∴  ∴，             5分

列表分析最值：

1

2

＋

0

－

0

＋

递增

极大值

递减

极小值

递增

∴当时，的最大值为，               9分

∵对时，恒成立，∴，解得或，

故的取值范围为                      12分

考点：1.利用导数求函数最值；2.利用导数研究函数的单调性；3.一元二次不等式解法.