Question

在锐角三角形ABC中，角A，B，C对边a，b，c且a²+b²-ab=c²，tanA-tanB=csc2A
①求证：2A-B=；
②求三角形ABC三个角的大小．

Answer

（1）将等式tanA-tanB=csc2A进行“切化弦”，再利用二倍角的三角函数公式和诱导公式化简得tan（-2A）=tan
（），结合A、B均为锐角得-2A+π=，即得2A-B=成立；
（2）利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子，结合题意解出cosC=，从而得到C=．再结合三角形内角和定理和（1）的等式联解，即可得到△ABC三个角的大小．
【解析】
（1）∵tanA-tanB=csc2A，即
∴，可得
即-tan2A=tan（），得tan（-2A）=tan（），
∵A、B∈（0，），∴-2A+π=，解之得2A-B=；
（2）∵a2+b2-ab=c2，
∴根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得cosC=
结合C∈（0，），得C=
由三角形内角和定理，得A+B=
根据（1）2A-B=，联解得A=，B=
综上所述，三角形ABC三个角的大小分别为A=，B=，C=．