Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED．
（1）求证：PA⊥平面ABCD．
（2）求二面角D-AC-E的正切值．
（3）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC，若存在，指出F点位置，并证明，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意及图形利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）由于PA⊥平面ABCD，点E在PD线上，所过E作EG∥PA交AD于G，从而EG⊥平面ABCD，再利用三垂线定理或即可作出二面角的平面角；
（3）因为PA，AB，AD两两垂直，所以可以建立空间直角坐标系，假设PC存在一点，F使得BF∥平面AEC，利用方程的思想求解即可．
（1）证明：∵PA=AD=1，PD=
∴PA2+AD2=PD2即PA⊥AD
又∵PA⊥CD．AD∩CD=D
∴PA⊥平面ABCD
（2）【解析】
过E作EG∥PA交AD于G，从而EG⊥平面ABCD′且AG=2GD．EG=，PA=．连接BD交AC于O，过G作GH∥OD交AC于H．
连接EH．∵GH⊥AC∴EH⊥AC
∴∠EHG为二面角D-AC-E的平面角．
∵HG=OD=．
∴tan∠EHG=．
（3）【解析】
因为PA，AB，AD两两垂直，所以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0）B（1，0，0）C（1，1，0）P（0，0，1）E（0，）
设平面AEC的法向量，则即令y=1，则
假设PC存在一点F且（0≤λ≤1），使得BF∥平面AEC则．
又∵=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ）
∴∴λ=
∴存在P的中点F，使得BF∥平面AEC．