Question

已知向量=（2，0），O是坐标原点，动点 M 满足：|+|+|-|=6．
（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）是否存在直线 l 过 D（0，2）与轨迹 C 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设 B（-2，0），则|+|+|-|=|+|+|-|=||+||=6，所以M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出M的轨迹C的方程．
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2，由 得（1+9k2） x2+36kx+27=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
【解析】
（1）设 B（-2，0）…（1分）
则|+|+|-|=|+|+|-|=||+||=6
∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c=2，2a=6⇒a=3⇒b=1              …（5分）
∴M 的轨迹 C的方程为 +y2=1           …（6分）
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由 得x2+9 （kx+2）2=9，
即 （1+9k2） x2+36kx+27=0         …（8分）
∴△=（36k）2-4×27 （1+9k2）＞0
即 9k2-3＞0，∴k＜-或k＞  （*）…（9分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴x1+x2=-，x1x2=                …（10分）
∵以 PQ 为直径的圆过原点，
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0
∴（1+k2） x1 x2+2k （x1+x2）+4=0
即  -+4=0
解得k=±满足 （*）
∴满足条件的直线 l 存在，
且直线 l 的方程为：x-3y+6=0或 x+3y-6=0  …（12分）