Question

已知．
（1）当a≥时，求f（x）的最小值；
（2）当a＜时，讨论f（x）的单调区间．

Answer

（1）由f'（x）=x（x2+x+a），知当a≥时，x2+x+a≥0恒成立，所以x＜0时，f'（x）≤0，x＞0时，f'（x）＞0，由此能求出f（x）的最小值．
（2）当a＜时，x2+x+a=0有两个不等实根：x1=，x2=，若0＜a＜，则x1＜x2＜0，由此能导出f（x）的单调区间．
【解析】
（1）f'（x）=x（x2+x+a），
当a≥时，x2+x+a≥0恒成立，
所以x＜0时f'（x）≤0，
仅当a=，x=时等于0，
x＞0时，f'（x）＞0，
因此f（x）在x=0处取得极小值，
∵只有这个唯一的极小值，
∴这个极小值也是最小值．
故最小值为f（0）=1．
（2）当a＜时，x2+x+a=0有两个不等实根：
x1=，x2=，
若0＜a＜，则x1＜x2＜0，f'（x）的图象如图，
f（x）的增区间为（x1，x2）和（0，+∞），
减区间为（-∞，x1）和（x2，0）；
若a=0，则x1=-1，x2=0，f'（x）的图象如
图，f（x）的增区间为（-1，+∞），减区间为（-∞，-1）；
若a＜0，则x1＜0，x2＞0，f'（x）的图象如图，
f（x）的增区间为（x1，0）和（x2，+∞），
减区间为（-∞，x1）和（0，x2）．