Question

已知函数f（x）=x³-x²++，且存在x∈（0，），使f（x）=x．
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，证明：x_n＜x_n+1＜x＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：＜．

Answer

（1）证明函数f（x）在R上的单调增，只需证其导函数在R上恒大于零即可；
（2）先验证n=1时是否成立，假设当n=k（k≥1）时有xk＜xk+1＜x＜yk+1＜yk，再验证n=k+1时是否成立；
（3）利用基本不等式进行化简，利用整体的思想转化成二次函数，再根据二次函数性质求函数的最值即可．
【解析】
（1）∵f'（x）=3x2-2x+=3（x-）2+＞0，
∴f（x）是R上的单调增函数．
（2）∵0＜x＜，即x1＜x＜y1．又f（x）是增函数，
∴f（x1）＜f（x）＜f（y1）．即x2＜x＜y2．
又x2=f（x1）=f（0）=＞0=x1，y2=f（y1）=f（）=＜=y1，
综上，x1＜x2＜x＜y2＜y1．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，上面已证明成立．
②假设当n=k（k≥1）时有xk＜xk+1＜x＜yk+1＜yk．
当n=k+1时，
由f（x）是单调增函数，有f（xk）＜f（xk+1）＜f（x）＜f（yk+1）＜f（yk），
∴xk+1＜xk+2＜x＜yk+2＜yk+1
由①②知对一切n=1，2，都有xn＜xn+1＜x＜yn+1＜yn．
（3）==yn2+xnyn+xn2-（yn+xn）+≤（yn+xn）2-（yn+xn）+
=[（yn+xn）-]2+．
由（Ⅱ）知0＜yn+xn＜1．
∴-＜yn+xn-＜，
∴＜（）2+=