Question

设数列{a_n}的前n项和为Sn，且S_n=4a_n-p，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）通过Sn=4an-p，利用an=Sn-Sn-1，求出，利用等比数列的定义证明数列{an}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{bn}满足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，推出，利用bn=b1+（b2-b′1）+（b3-b2）++（bn-bn-1），求数列{bn}的通项公式．
证明：（1）证：因为Sn=4an-p（n∈N*），则Sn-1=4an-1-p（n∈N*，n≥2），
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4an-4an-1，整理得．（5分）
由Sn=4an-p，令n=1，得a1=4a1-a，解得．
所以an是首项为，公比为的等比数列．（7分）
（2）【解析】
因为a1=1，则，
由bn+1=an+bn（n=1，2，），得，（9分）
当n≥2时，由累加得bn=b1+（b2-b′1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=，
当n=1时，上式也成立．（14分）