Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA．
（I）当k=1时，求证PA⊥B₁C；
（II）当k为何值时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为，并求此时二面角A-PC-B的余弦值．

Answer

（I）以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz，设AB=2，欲证PA⊥B1C，只需它们对应的坐标，计算它们的数量积，使数量积为零即可；
（II）先求出平面B1C的一个法向量，先求直线PA与法向量的夹角的余弦值然后得到直线与平面所成角的正弦值，可求出k的值，最后求出平面BPC的一个法向量，根据两法向量的夹角的余弦值求出二面角A-PC-B的余弦值．
【解析】
以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz．
（I）设AB=2，则AB=BC=PA=2
根据题意得：
所以．
∵，∴PA⊥B1C．
（II）设AB=2，则，
根据题意：A（2，0，0），C（0，2，0），
又因为，
所以，
∴，
∴，
∵AB⊥平面B1C，
所以由题意得，
即，即，
∵k＞0，解得k=．
即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为．（8分）
∵B1P⊥面APC，∴平面APC的法向量．
设平面BPC的一个法向量为，
∵
由，得，
∴
所以此时二面角A-PC-B的余弦值是．（12分）