Question

甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

Answer

（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；
（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．
【解析】
（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，
∵每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元，∴获得的利润为100（5x+1-）×元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．
（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．
设f（x）=，1≤x≤10．
则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．
故获得最大利润为=457500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．