Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）已知函数h（x）=g（x）+ax³的一个极值点为1，求a的取值；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用1是h（x）的极值点，可得h′（1）=-2+a+3a=0，解得a．再验证a的值是否满足h（x）取得的极值的条件即可．
（2）利用导数的运算法则即可得到f′（x），分与讨论，利用单调性即可得f（x）的最小值；
（3）由2xlnx≥-x2+ax-3，则a，设h（x）=（x＞0）．对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立⇔a≤h（x）min，利用导数求出h（x）的最小值即可．
【解析】
（1）∵h（x）=-x2+ax-3+ax3，∴h′（x）=-2x+a+3ax2，
∵1是h（x）的极值点，∴h′（1）=-2+a+3a=0，解得a=．
经验证满足h（x）取得的极值的条件．
（2）∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，解得．当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
①无解；
②，即，．
③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；
∴f（x）min=．
（3）2xlnx≥-x2+ax-3，则a，
设h（x）=（x＞0），则，
令h′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴h（x）在（0，1）上单调递减；
令h′（x）＞0，解得1＜x，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．
∴h（x）≥h（1）=4．
∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤h（x）min=4．