Question

已知集合S_n={（x₁，x₂，…，x_n）|x₁，x₂，…，x_n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数
对于（a₁，a₂，…a_n）∈S_n，定义：b_i=g（a_i-a₁）+g（a_i-a₂）+…+g（a_i-a_i-1），i∈{2，3，…，n}，b₁=0，称b_i为a_i的满意指数．排列b₁，b₂，…，b_n为排列a₁，a₂，…，a_n的生成列．
（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；
（Ⅱ）证明：若a₁，a₂，…，a_n和a'₁，a'₂，…，a'_n为S_n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
（Ⅲ）对于S_n中的排列a₁，a₂，…，a_n，进行如下操作：将排列a₁，a₂，…，a_n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．

Answer

（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列
（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，an的生成列是b1，b2，…，bn；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，an与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为ak与a'k，则通过比较可知ak≠a'k，只要证明：bk≠b'k．即可
（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，an的生成列为b1，b2，…，bn，且ak为a1，a2，…，an中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，bk-1≥0，bk≤-1．然后进行操作，排列a1，a2，…，an变为排列ak，a1，a2，…ak-1，ak+1，…，an，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证
（Ⅰ）【解析】
当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，-2，1，4，3．
（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，an的生成列是b1，b2，…，bn；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．
从右往左数，设排列a1，a2，…，an与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为ak与a'k，
即：an=a'n，an-1=a'n-1，…，ak+1=a'k+1，ak≠a'k．
显然 bn=b'n，bn-1=b'n-1，…，bk+1=b'k+1，下面证明：bk≠b'k．
由满意指数的定义知，ai的满意指数为排列a1，a2，…，an中前i-1项中比ai小的项的个数减去比ai大的项的个数．
由于排列a1，a2，…，an的前k项各不相同，设这k项中有l项比ak小，则有k-l-1项比ak大，
而bk=l-（k-l-1）=2l-k+1．
同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k-l'-1项比a'k大，从而b'k=2l'-k+1．
因为 a1，a2，…，ak与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且ak≠a'k，
所以 l≠l'，从而 bk≠b'k．
所以排列a1，a2，…，an和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．
（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，an的生成列为b1，b2，…，bn，且ak为a1，a2，…，an中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，bk-1≥0，bk≤-1．
依题意进行操作，排列a1，a2，…，an变为排列ak，a1，a2，…ak-1，ak+1，…，an，
设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．                                                
所以 （b'1+b'2+…+b'n）-（b1+b2+…+bn）
=[g（a1-ak）+g（a2-ak）+…+g（ak-1-ak）]-[g（ak-a1）+g（ak-a2）+…+g（ak-ak-1）]
=-2[g（ak-a1）+g（ak-a2）+…+g（ak-ak-1）]=-2bk≥2．
所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．