Question

已知各项为实数的数列{a_n}是等比数列，且a₁=2，a₅+a₇=8（a₂+a₄）．数列{b_n}满足：对任意正整数n，有．
（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个（-1）^kb_k（k∈N^*）后，得到一个新的数列{c_n}．求数列{c_n}的前2012项之和．

Answer

（1）利用等比数列的通项公式，求出公比，从而求出数列{an}通项公式，再利用条件求数列{bn}的通项公式；
（2）先判定数列{an}与数列{cn}项数之间的关系，利用转化思想求和即可．
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q，由a5+a7=8（a2+a4），
得=8a1q（1+q2），
又∵a1=2，q≠0，1+q2＞0，∴q=2，
数列{an}的通项公式为an=2n，n∈N*，
由题意有a1b1=（1-1）•21+1+2=2，∴b1=1，
当n≥2时，anbn=（n-1）•2n+1-[（n-2）•2n+2]=n•2n，
∴bn=n，．
故数列{bn}的通项公式为bn=n，n∈N*．
（2）设数列{an}的第k项是数列{cn}的第mk项，即ak=，k∈N*，
当k≥2时，mk=k+[1+2+…+（k-1）]=，
m62==1953，m63==2016，
设Sn表示数列{cn}的前n项之和，
则S2016=（a1+a2+…+a63）+[（-1）1•b1+（-1）2•2b2+…+（-1）62•62•b62]，
其中a1+a2+…+a63==264-2，
∵（-1）n•nbn=（-1）n•n2，
∴[（-1）1•b1+（-1）2•2b2+…+（-1）62•62•b62]=（-1）1•12+（-1）2•22+…+（-1）62•622
=（22-12）+（42-32）+…+（622-612）=（4×1-1）+（4×2-1）+（4×3-1）+…+（4×31-1）
=4××31-31=1953，
∴S2016=（264-2）+1953=264+1951，
从而S2012=S2016-（C2013+C2014+C2015+C2016）=264+1951-3（-1）62×b62-a63
=264+1951-3×62-263
=263+1765．
所以数列{cn}的前2012项之和为263+1765．