Question

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．
（1）求证：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC．

Answer

（1）欲证B1D1∥面A1BD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证B1D1与面A1BD内一直线平行，易证BB1D1D是平行四边形，则B1D1∥BD，而BD⊂面A1BD，B1D1⊄面A1B，满足定理所需条件；
（2）因BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，根据线面垂直的性质可知BB1⊥AC，而BD⊥AC，且BD∩BB1=B，满足线面垂直的判定定理所需条件，则AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，从而得到结论．
证明：（1）由直四棱柱，得BB1∥DD且BB1=DD1，
所以BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD
而BD⊂面A1BD，B1D1⊄面A1B，
所以B1D1∥面A1BD
（2）因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
则BB1⊥AC
又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B，
故AC⊥面BB1D
而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．