Question

设函数f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a≥0，b，c∈R
（1）若f（）=0，求f（x）的单调区间；
（2）设M表示f′（0）与f′（1）两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤M．

Answer

（1）由，得a=b．当a＞0时，通过求导，利用导数与单调性的关系列出表格即可得出单调区间；
（2）对a，b分类讨论，利用二次函数的单调性即可证明．
【解析】
（1）由，得a=b．
当a=0时，则b=0，f（x）=c不具备单调性．
当a＞0时，可得f（x）=ax3-2ax2+ax+c．
由f′（x）=a（3x2-4x+1）=0得x1=，x2=1．
列表：

x （-∞，） （，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

由表可得，函数f（x）的单调增区间是（-∞，）及（1，+∞）．单调减区间是．
（2）当a=0时，f′（x）=-2bx+b，
若b=0，则f′（x）=0，
若b＞0，或b＜0，f′（x）在[0，1]是单调函数，-f′（0）=f′（1）≤f′（x）≤f′（0），
或-f′（1）=f′（0）≤f′（x）≤f′（1）．
∴|f′（x）|≤M．
当a＞0时，f′（x）=3ax2-2（a+b）x+b=3．
①当或时，则f′（x）在[0，1]上是单调函数，
∴f′（1）≤f′（x）≤f′（0）或f′（0）≤f′（x）≤f′（1），且f′（0）+f′（1）=a＞0．
∴-M≤f′（x）≤M．
②当，即-a＜b＜2a，则．
（i） 当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．
∴==≥＞0．
∴-M＜f′（x）≤M．
（ii） 当＜b＜2a时，则＜0，即a2+b2-＜0．
∴=＞＞0，即．
∴-M＜f′（x）≤M．
综上所述：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤M．