Question

已知点F₁和F₂是椭圆M：的两个焦点，且椭圆M经过点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l和椭圆M交于A、B两点，且，求直线l的方程；
（3）过点P（0，2）的直线和椭圆M交于A、B两点，点A关于y轴的对称点C，求证：直线CB必过y轴上的定点，并求出此定点坐标．

Answer

（1）利用b2=a2-c2及点满足椭圆的方程即可得出．
（2）设出直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及向量相等即可求出；
（3）设过点P（0，2）的直线AB方程为：y=kx+2，与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及其对称性得出直线BC的方程即可．
【解析】
（1）由条件得：c=，设椭圆的方程，
把代入得，解得a2=4，
所以椭圆方程为．
（2）斜率不存在时，不适合条件；
设直线l的方程y=kx+2，点B（x1，y1），点A（x2，y2），
代入椭圆M的方程并整理得：（1+4k2）x2+16kx+12=0．△=（16k）2-48（1+4k2）=16（4k2-3）＞0，得．
且．
因为，即，所以．
代入上式得，解得k=±1，
所以所求直线l的方程：y=±x+2．
（3）设过点P（0，2）的直线AB方程为：y=kx+2，点B（x1，y1），点 A（x2，y2），C（-x2，y2）．
把直线AB方程代入椭圆M：，并整理得：（1+4k2）x2+16kx+12=0，
△=（16k）2-48（1+4k2）=16（4k2-3）＞0，得．
且．
设直线CB的方程为：，
令x=0得：．
把代入上式得：．
所以直线CB必过y轴上的定点，且此定点坐标为．
当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件．