Question

如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．
（Ⅰ）求证：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．

Answer

（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE；
（II）分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设PE=a，可得点B、D、C、P关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PCD的一个法向量为=（1，1，），由PD与平面PBC所成的角为30°和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段PE的长．
【解析】
（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）
∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，
又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；                      …．（4分）
（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，
∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）
设PE=a，则B（0，4-a，0），D（a，0，0），C（2，2-a，0），
P（0，0，a），…（7分）
可得，，…（8分）
设面PBC的法向量，
∴令y=1，可得x=1，z=
因此是面PBC的一个法向量，…（10分）   
∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）
∴，即，…（11分）
解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）