Question

设函数在上的最大值为a_n（n=1，2，…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对任意n∈N^*（n≥2），都有成立．

Answer

（1）解法一：通过函数的导数，判断函数的单调性，求出最大值即可求a1，a2的值；
解法二：利用函数的导数，求出函数的最值，推出a1，a2的值．
（2）利用（1）解法求出n≥3时函数的最大值，即可求数列{an}的通项公式；
（3）利用分析法以及二项式定理直接证明：对任意n∈N*（n≥2），都有成立．
【解析】
（1）解法1：∵-------（1分）
当n=1时，f1'（x）=（1-x）（1-3x）
当时，f1'（x）≤0，即函数f1（x）在上单调递减，
∴，--------------------------------------------------（3分）
当n=2时，f2'（x）=2x（1-x）（1-2x）
当时，f2'（x）≤0，即函数f2（x）在上单调递减，
∴---------------------------------------------------（5分）
【解法2：当n=1时，，则
当时，f1'（x）≤0，即函数f1（x）在上单调递减，∴，
当n=2时，，则=2x（1-x）（1-2x）
当时，f2'（x）≤0，即函数f2（x）在上单调递减，∴】
（2）令fn'（x）=0得x=1或，
∵当n≥3时，且当时fn'（x）＞0，
当时fn'（x）＜0，-----------------（7分）
故fn（x）在处取得最大值，
即当n≥3时，=，-------（9分）
当n=2时（*）仍然成立，
综上得-------------------------------------（10分）
（3）当n≥2时，要证，只需证明，-------------------（11分）
∵
∴对任意n∈N*（n≥2），都有成立．-----------------（14分）