Question

如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．
（1）求异面直线PC与BD所成的角；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（1）通过建立空间直角坐标系，先求出两条异面直线的方向向量的夹角，进而即可得出此异面直线所成的角；
（2）假设在线段PB上存在一点E，使PC⊥平面ADE，利用向量共线的充要条件和线面垂直的定理即可求出点E的坐标．
【解析】
（1）如图所示，分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
∴，，
∴===，
∵，
∴，
因此异面直线DB与PC所成的角为60°．
（2）在线段PB上存在一点E为线段PB的中点，使PC⊥平面ADE．
下面给出证明：
假设在线段PB上存在一点E，使PC⊥平面ADE．
如图所示的坐标系中，A（2，0，0），
∵P、E、B三点共线，∴可设，
则=（0，0，2）+λ（2，2，-2）=（2λ，2λ，2-2λ），即E（2λ，2λ，2-2λ）．
∵，∴，
又PC⊥DE，∴=0，即0+2×2λ-2×（2-2λ）=0，解得λ=，
∴E（1，1，1）．
即点E为线段PB的中点．