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设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0). (Ⅰ)若f(1)=g...

设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0).
(Ⅰ)若f(1)=g(1),f'(1)=g'(1),求F(x)=f(x)-g(x)的极小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值.若不存在,说明理由.
(Ⅲ)设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x1,x2,且x1,x,x2成等差数列,试探究G'(x)值的符号.
(1)由f(1)=g(1),f′(1)=g′(1)得到a与b的值,因为F(x)=f(x)-g(x)求出导函数讨论在区间上的增减性得到函数的极值即可; (2)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)=x2在点(1,1)的切线方程为y=2x-1, 下面验证都成立即可.由x2-2x+1≥0,得x2≥2x-1,知f(x)≥2x-1恒成立.设h(x)=lnx+x-(2x-1),即h(x)=lnx-x+1,易知其在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)=lnx+x-(2x-1)的最大值为h(1)=0,所以lnx+x≤2x-1恒成立.故存在; (3)因为G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x1,x2,把两个零点代入到G(x)中,得一式子,然后求出导函数讨论两个零点的大小得到G'(x)值的符号为正. 【解析】 (1)由f(1)=g(1),f′(1)=g′(1)得,解得a=b=1则F(x)=f(x)-g(x)=x2-lnx-x,F′(x)=2x--1 x=1或x=,当x<-或x>1时,f′(x)>0,函数为增函数;当<x<1时,f′(x)<0,函数为减函数. 得到F(x)极小值=F(1)=0; (2)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)=x2在点(1,1)的切线方程为y=2x-1, 下面验证都成立即可.由x2-2x+1≥0,得x2≥2x-1,知f(x)≥2x-1恒成立.设h(x)=lnx+x-(2x-1),即h(x)=lnx-x+1,易知其在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)=lnx+x-(2x-1)的最大值为h(1)=0,所以lnx+x≤2x-1恒成立.故存在这样的k和m,且k=2,m=-1. (3)G′(x)的符号为正,理由为:因为G(x)=x2+2-alnx-bx有两个零点x1,x2,则有,两式相减得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0,即, 于是G′(x)=2x--b=(x1+x2-b)-=-= = ①当0<x1<x2时,令=t,则t>1,且u′(t)==>0,则u(t)=lnt-在(1,+∞)上为增函数, 而u(1)=0,所以u(t)>0,即lnt->0,又因为a>0,x2-x1>0 所以G′(x)>0; ②当0<x2<x1时,同理可得:G′(x)>0 综上所述:G′(x)的符号为正.
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  • 题型:解答题
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